Makalah Barisan dan Deret

MATEMATIKA WAJIB

X MIA 5

SMA AL-AZHAR 3 BANDAR LAMPUNG

Kata Pengantar

Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh. Alhamdulillahirabbilalamin, banyak nikmat yang Allah berikan, tetapi sedikit sekali yang kita ingat. Segala puji hanya layak untuk Allah Tuhan seru sekalian alam atas segala berkat, rahmat, taufik, serta hidayah-Nya yang tiada terkira besarnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah dengan judul ”BARISAN DAN DERET”. Dalam penyusunannya, kami memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya yang telah memberikan dukungan, kasih, dan kepercayaan yang begitu besar.Dan juga terima kasih kepada Ibu Siska yang telah memberikan kami tugas ini. Dari sanalah semua kesuksesan ini berawal, semoga semua ini bisa memberikan sedikit kebahagiaan dan menuntun pada langkah yang lebih baik lagi. Meskipun kelompok kami berharap isi dari makalah ini bebas dari kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang kurang. Oleh karena itu, kelompok kami mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar skripsi ini dapat lebih baik lagi. Akhir kata dari kami berharap agar makalah ini bermanfaat bagi semua pembaca.

Daftar Isi

Kata Pengantar ...................................................................................................... 2

Daftar Isi ................................................................................................................ 3

Notasi Sigma ..........................................................................................................4

Contoh soal Notasi Sigma .....................................................................................5

Barisan dan Deret Aritmatika ...............................................................................7

Sisipan dan Dret Aritmatik ...................................................................................10

Barisan dan Deret Geometri ................................................................................11

Daftar Pustaka ......................................................................................................14

Notasi Sigma

NOTASI SIGMA

Notasi Sigma merupakan notasi yang digunakan untuk menyatakan penjumlahan bilangan. Perhatikan contoh berikut

Untuk notasi:

dimana :

1 adalah batas bawah

n adalah batas atas

u_i adalah suku

dalam hal ini huruf yang dipakai tidak selalu i dapat juga menggunakan huruf lain.

Sifat – Sifat Notasi Sigma

Berikut ini beberapa sifat dari notasi sigma yang dapat dijadikan panduan dalam mengerjakan soal-soal mengenai notasi sigma :

Contoh Soal Notasi Sigma

Beberapa rumus untuk notasi sigma

Rumus berikut ini dapat membantu dalam menyelesaikan berbagai variasi soal notasi sigma.

contoh 1 :

contoh 2 :

contoh 3 :

Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa :

Barisan Dan Deret Aritmatika

Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
Pengertian Barisan Matematika
Yang dinamakan barisan dari bilangan real adalah susunan bilangan yang mempunyai sifat keturunan (berpola), unsur-unsur suatu barisan disebut dengan istilah suku-suku barisan, dilambangkan dengan U₁, U₂, U₃, …, Un.
U₁ = suku pertama
U₂ = suku kedua
U₃ = suku ketiga
Un = suku ke-n
Contoh barisan bilangan ganjil
1, 3, 5, 7, 9, …., 2n-1
suku pertaman (U_{1) = 1, suku kedua}(U₂) = 3, dan suku ke-n = 2n-1
Dalam matematika SMA, jenis barisan ada 2 yaitu barisan aritmatika dan barisan geometri, kali ini kita akan belajar barisan aritmatika dulu, yang geometri insyaAlloh menyusul.

Barisan Aritmatika

Definisi barisan ini adalah barisan yang setiap selisih antar suku yang berdekatan selalu konstan. Secara matematis dalam barisan aritmatika berlaku rumus

U_n-U_n-1 = konstan, dengan n = 2,3,4,...

Nilai konstan pada definisi di atas disebut juga dengan beda barisan aritmatika (dilambangkan b)

U_n-U_n-1 = b

Contoh
23, 30, 37, 44, 51, … merupakan barisan aritmatika dengan beda 7
2, 7/4, 3/2, 5/4, 1, … adalah barisan aritmatika dengan beda -1/4
Jika a adalah suku pertama dari deret matika dan b adalah beda, maka rumus barisan aritmatika adalah

Un = a + (n-1)b [rumus barisan aritmatika]

Contoh soal
Suatu barisan aritmetika, suku ketiganya adalah 36, jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 144. Berapa suku ke seratus dari barisan tersebut.

Jawab :
U₃ = 36 ⇔ a + (3-1) b = 36 ⇔ a + 2b = 36 ……. ₍₁₎U₅ + U₇⇔ a + 4b + a + 6 b = 144 ⇔ 2a + 10 b = 144 ⇔ a + 5b =72 …… ₍₂₎eliminasi persamaan (1) dengan persamaan (2)
a + 2b = 36
a + 5b = 72
————– –
-3b = – 36 ⇔ b = 12
a + 2b = 36
a + 2(12) = 36 ⇔ a + 24 = 36 ⇔ a = 12
suku ke 100, U₁₀₀ = a + (100-1) b = 12 + 99.12 = 100. 12 =1200

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika suatu barisan aritmatika berjumlah ganjil, maka di antara barisan tersebut ada suku tengahnya. Lalu bagaimana cara menentukan nilai dari suku tengah tersebut?
Rumus mencari nilai suku tengah

U_t = 1/2 (U₁+U_n)

contoh soal
Jika ada barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1.200 Tentukan suku tengahnya!
U_t = 1/2 (U₁+U_n) = 1/2 (2+1200) = 1/2 x 1.202 = 601

Sisipan dalam Barisan Aritmatika

Jika ada dua buah bilagnan m dan n, kemudian sobat sisipkan diantara dua bilangan tersebut bilangan sebanyak k buah, maka akan diperoleh bentuk
m, m+b, m+2b, m+3b, m+4b, …, n
misal kita punya 2 bilangan 10 dan 20 kemudian akan kita sisipkan 4 buah bilangan di antaranya hingga membentuk deret aritmatika. Dari semula 2 suku sekarang ditambah 4 suku, total ada 6 suku.
10, 10+b, 10+2b, 10+3b, 10+4b, 20 pertanyaanya berapa nilai beda (b)?
Sobat bisa menggunakan rumus U_n = a+(n-1)b ⇔ 20 = 10+(6-1)b ⇔20 = 10 + 5b ⇔ b = 2
untuk rumus cepat sobat bisa menggunakan

b = [n-m]/[k+1]

Deret Aritmatika

Misalkan sobat punya suatu barisam aritmatikan U₁, U₂, U₃, …. U_n
maka jika sobat hitung melakukan penjumlahan suku secara berurutan dari suku pertama hingga suku ke-n, U₁ + U₂ + U₃ + …. + U_n itulah yang sdisebut dengan derat aritmatika. Sebut saja deret adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika. Sn = jumlah n buah suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah

Sn = 1/2 n (2a+(n-1)b)

karena a+(n-1)b = Un

Sn = 1/2 n (a+a+(n-1)b) = 1/2 n (a+Un)

Contoh soal

Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?

Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S₅). Pertama kita cari nilai a dan b.

U₃ = 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)
U₄ = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
– b = -4 ⇔ b = 4

a+2b = 15
a+8 = 15
a = 7
S₅= 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.

SISIPAN DAN DERET ARITMATIKA

Sisipan pada deret aritmatika yaitu menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmatika sehingga diperoleh deret aritmatika yang baru. Sebagai contoh :

Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +……

Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +……

Untuk beda dari deret baru ini biasanya dinyatakan dengan b1, dapat ditentukan dengan rumus berikut :

b1 = b/(k+1)

b1 = beda deret baru

b = beda deret mula-mula

k = banyak bilangan yang disisipkan

Barisan dan Deret Geometri

Barisan dan Deret Geometri – Ketika sobat belajar matematika SMA, ada dua macam barisan dan deret yaitu aritmatika dan geometri. Buat sobat yang ingin belajar lebih jauh tentang barisan dan deret aritmatika silahkan baca postingan barisan dan deret aritmatika. Kali ini rumushitung.com ingin mengajak sobat untuk belajar dan mengenal lebih jauh tentang barisan dan deret geometri.

Apa itu Barisan Geometri?

Barisan geometri atau sering diistilahkan “barisan ukur” adalah barisan yang memenuhi sifat hasil bagi sebuah suku dengan suku sebelumnya yang berurutan adalah bernilai konstan. Misal barisan geometri tersebut adalah a,b, dan c maka c/b = b/a = konstan. Hasil bagi suku yang berdekatan tersebut disebut dengan rasio barisan geometri (r).

Misalkan sobat punya sebuah deret geometri
U₁, U₂, U₃, …, U_n-1, U_n
Maka
U₂/U₁ = U₃/U₂=U₄/U₃ = … U_n/U_n-1 = r (konstan)
lalu bagaimana menetukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri? coba ambil contoh
U₃/U₂ = r maka U₃ = U₂. r = a.r.r = ar²
U₄/U₃ = r maka U₄ = U₃. r = a.r².r = ar³ sejalan dengan
U_n/U_n-1 = r maka U_n = U_n-1. r = ar^n-2.r = ar^n-2+1= ar^n-1

jadi dari penjelasan di atas sobat bisa menyimpulkan

Rumus Suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan
Un = ar^n-1
dengan a = suku awal dan r = rasio barisan geomteri

contoh soal

Tentukan suku ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2, ….

jawab :

kalau ditanya suku ke lima atau suku yang masih ke-sekian yang masih kecil mungkin sobat bisa meneruskan barisan geometri tersebut tapi kalau ditanyakan suku ke-10, ke-50, atau ke-100 akan sangat merepotkan dan mau tidak mau harus pakai rumus di atas.

r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 –> rasio
a = 1/8
Un = ar^n-1 = 1/8 2^(10-1) = 1/8 . 2⁹ = 2^-3.2⁹ = 2⁶ = 64

contoh soal berikutnya

Sebuah amoeba dapat membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit. Pertanyaannya, berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika pada awalnya terdapat 2 amoeba?
a = 2
r = 2
n = 1 jam/ 6 menit = 10
U_n = ar^n-1
U₁₀ = 2.2^10-1 = 2¹⁰ = 1024 buah amoeba.

Apa itu Deret Geometri?

Deret geometri didefinisikan sebagai jumlah n buah suku pertama dari barisan geometri. Nilai dari n suku pertama dari sebuah barisan geometri dapat ditentukan dengan

S_n = a + ar + ar² + ar³ +… + ar^n-2 + ar^n-1
r S_n = ar + ar² + ar³ +… + ar^n-2 + ar^n-1 + arⁿ (keduanya kita kurangkan)
———————————————————————————
S_n – rS_n = a – arⁿ
S_n (1-r) = a (1-rⁿ)
Sn = a (1-rⁿ)/ (1-r)
dengan a = suku pertama dan r = rasio barisan geometri

Contoh Soal
tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan 1,3,9,…
Jawab
a = 1
r = 3 dan n = 6
Sn = a (1-rⁿ)/ (1-r) = 1 (1-3⁶) / (1-3) = 1 (1-729) / -2 = -728/-2 = 364

Sisipan pada Barisan Geometri

dalam barisan geometri dikenal adanya sisipan. Misalkan di antara p dan q sobat sisipkan k buah bilangan dan terdjadi barisan geometri, maka rasio barisan geometri adalah

Suku Tengah Barisan Geometri

jika U1, U2, U3, … Un merupakan barisan geometri dengan n ganjil maka suku tengah barisan geometri tersebut adalah

Deret Geometri tak Hingga

Ketika sobat menjatuhkan bola bekel dari ketinggian satu meter dan bola tersebut akan memantul ke atas sejauh 0,8 tinggi jatuh sebelumnya berpa jarak yang ditempuh bola bekel tersebut hingga berhenti? heheh susah ya. Itu adalah contoh dari deret geomerti tak hingga yaitu deret yang banyak suku-sukunya tak terhingga. Jumlah suku-suku dari deret tak hingga ada kemungkinan hingga tau tak hingga. Jika deret itu hingga maka deretnya disebut deret konvergen dan jika tak hingga disebut dere divergen. Gampangnya jika jumlah deret tak hingga menuju ke suatu harga tertentu yang berhingga maka disebut konvergen (mengerucut). Sebaliknya, deret geometri yang menuju bilangan tak hinggaa disebut divergen.

Deret tak hingga yang rasionya r ≥ 1 atau r ≤ 1 disebut deret divergen dan yang mempuyai rasio -1< r < 1 disebut deret konvergen. Untuk menghitung deret tak hingga ada dua rumus tergantung pada nilai r

nama deret	rasio (r)	rumus
divergen	r ≥ 1 atau r ≤ 1	s = ∞
konvergen	-1< r < 1	s = a/ 1-r

Contoh Soal
Tentukan jumlah suku-suku deret geometri tak hingga dari 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + ….
Jawab
a = 1
r = 0,5
S∞ = a/1-r = 1/1-0,5 = 1/0,5 = 2

Daftar Pustaka

http://rumushitung.com/2013/09/03/barisan-geometri-deret-geometri/

http://rumus-matematika.com/materi-barisan-dan-deret-aritmatika/

http://rumushitung.com/2013/07/08/barisan-aritmatika-deret-aritmatika/

http://rumus-matematika.com/notasi-sigma/

SEMOGA BERMANFAAT SOBAAT :) :)

Makalah Barisan dan Deret

Minggu, 07 Desember 2014

Tidak ada komentar:

Posting Komentar